Řetízkové pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Řetízkové pravidlo (z angličtiny Chain rule) se v matematice objevuje ve spojitosti s derivací funkce. Jedná se o jednoznačný vzorec (zejména) pro složenou derivaci do dvou funkcí (závislých na sobě). Jedná se vlastně o zjednodušení vlastního výpočtu derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je známo ale, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné.

Teorie[editovat | editovat zdroj]

  • F(x) = f(g(x)).

potom:

  • \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g} \cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} .

Tedy vlastně:

  • \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} (x)= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x) - v případě jedné závislé.

Příklad 1[editovat | editovat zdroj]

Zderivujte f(x,y) využitím řetízkového pravidla. - 'x' si zavedeme jako závislou proměnou 't', tedy 'x(t)', totéž uděláme u 'y', tedy 'y(t,φ)'. Pokračujeme zápisem samotné funkce:

  • F(t,q)=f(x(t),y(t,q)).

A derivace z toho tedy musí být:

  • \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t,q) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x(t),y(t,q))\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}(x(t),y(t,q))\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t,q)

Příklad 2[editovat | editovat zdroj]

Zderivujte:

  •  F(x) =\frac {\mathrm(x+4)^3 }{\mathrm(x-1)^3}.

Celé zadání příkladu si lze představit jako:

  •  F(x) = u^3, tedy  u =\frac {\mathrm  (x+4)} {\mathrm(x-1)}. Podle řetízkového pravidla potom výsledek bude:
  •  F'(x) = 3\cdot u' \cdot u^2, což je:
  • \mathrm{F}(x) = 3 \cdot \frac {\mathrm -5}{\mathrm(x-1)^2}\cdot\frac{\mathrm (x+4)^2} {\mathrm (x-1)^2}, což lze převést do základní tvaru:
  • \mathrm{F}(x) =\frac {\mathrm(-15x^2-120x-240)} {\mathrm(x-1)^4}.

Z druhého příkladu je krásně vidět, že standardní postup by byl velmi výpočtově náročný. Proto je užití Řetízkového pravidla v takových případech velmi výhodné. Řetízkové pravidlo se samozřejmě nezastaví jen u jedné proměnné, lze ho například použít k transformaci parciálních derivací do cylindrických či polárních souřadnic aj.

Reference[editovat | editovat zdroj]

Přenášky z předmětu Matematika a fyzika pro techniky (MFT): Mgr. Jan Březina, Ph.D., TUL.

Související články[editovat | editovat zdroj]