Číselná struktura

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura jejímž nosičem je číselná množina. Na této množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Tvoří se od nejjednodušších k složitějším, jednodušší struktury jsou vnořeny do těch složitějších.

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow \ldots$

Konstrukce

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a nakonec je určen způsob jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

• $(\forall x) x = x$
• $(\forall x,y) x = y \Leftrightarrow y = x$
• $(\forall x,y,z) x = y \and y = z \Rightarrow x = z$
• $(\forall x \exists ! y) y = x'$
• $(\forall x,y \exists ! z) z = x + y$
• $(\forall x,y \exists ! z) z = x \cdot y$
• $(\forall x,y)x = y \Leftrightarrow x' = y'$
• $(\forall p,q,x,y) x = y \and p = q \Leftrightarrow x + p = y + q$
• $(\forall p,q,x,y) x = y \and p = q \Leftrightarrow x \cdot p = y \cdot q$
• $(\exists x \forall y)y' \not= x$
• $(\forall x,y)x' = y' \Rightarrow x = y$
• $(\forall x)x + 0 = x$
• $(\forall x)x \cdot 0 = 0$
• $(\forall x,y)x + y' = (x + y)'$
• $(\forall x,y)x \cdot y' = (x \cdot y) + x$
• Nechť $\phi(x)$ je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak $\phi(0) \and (\forall x)(\phi(x) \Rightarrow \phi(x')) \Rightarrow (\forall x)\phi(x)$ je axiom.

Celá čísla

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
• Ekvivalence: $[x,y]\approx[u,v]\Leftrightarrow x + v = y + u$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\approx$
• Sčítání: $T[x,y] + T[u,v] = T[x+u,y+v]$
• Násobení: $T[x,y] \cdot T[u,v] = T[xu+yv,xv+yu]$
• Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T[x,0]$, kde x je přirozené číslo
• $T[x,y] = x - y$

Racionální čísla

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0$
• Ekvivalence: $\frac{x}{y}\approx\frac{u}{v}\Leftrightarrow xv = yu$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0/\approx$
• Sčítání: $T\frac{x}{y} + T\frac{u}{v} = T\frac{xv+yu}{yv}$
• Násobení: $T\frac{x}{y} \cdot T\frac{u}{v} = T\frac{xu}{yv}$
• Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T\frac{x}{1}$, kde x je celé číslo

Reálná čísla

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice $x^2+1=0$ a to tak, že $x = \sqrt{-1} = i$.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
• Ekvivalence: $[x,y] = [u,v] \Leftrightarrow x = u \and y = v$
• Sčítání: $[x,y] + [u,v] = [x+u,y+v]$
• Násobení: $[x,y] \cdot [u,v] = [xu-yv,xv+yu]$