Úzká relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Úzká relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Obsah

1 Definice
2 Příklady
3 Mostowského věta o kolapsu
4 Související články

[editovat] Definice

Nechť R je binární třídová (tj. R je libovolná, i vlastní, třída) relace. Označíme-li $R^{-1}[y]=\{x;\,x R y\}$ , můžeme definovat, že relace R je úzká právě tehdy, když $\,R^{-1}[y]$ je množina pro každé y.

[editovat] Příklady

Pro $R = \in$ platí $\,R^{-1}[y]=y$ , tedy $\in$ je úzká relace.
Každá množinová binární relace (tj. taková, která je množinou) je úzká.

[editovat] Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že úzkost je jednou ze (tří) základních vlastností relace $\in$ , které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť R je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury $\,<A;R>$ a $<T;\in>$ jsou izomorfní (tj. existuje $\phi:A \rightarrow T$ bijekce, že $\,xRy \Leftrightarrow \phi(x)\in\phi(y)$ ).